ONDAS BIDIMENSIONALES
Son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en
cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también
ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en la superficie
de un lago cuando se deja caer una piedra sobre él.
ECUACIÓN GENERAL DE LAS ONDAS
Se
analizará la ecuación bidimensional a través de un movimiento vibratorio
planar, como la vibración de una membrana elástica.
El
ensayo para determinar las ecuaciones diferenciales de equilibrio consiste en
fijar la membrana elástica, similar a un parche de un tambor pero de forma
rectangular, sujetándola por sus cuatro bordes. La membrana, que está tensa, se
golpea en la parte central de manera que comience a vibrar, y se evalúa el
desplazamiento que se produce en sentido vertical.
Las consideraciones preliminares son
similares a las que se realizaron para el análisis del movimiento vibratorio de
una cuerda, pero teniendo en cuenta que ahora existen dos dimensiones a
contemplar, a saber:
1) La membrana es flexible y delgada, y no ofrece resistencia a la
flexión. Se desplaza en sentido vertical, sin modificar sus dimensiones
transversales (no se “estira”).
2) Es homogénea, siendo su masa por unidad de área constante y su
espesor uniforme e infinitesimal.
3) La tensión por unidad de longitud T [kg/cm] que se observa
sobre los bordes del diferencial de área considerado es la misma en todas
direcciones y no cambia al moverse la membrana.
4) El desplazamiento u = u (x, y, t) es pequeño frente
a las dimensiones de la membrana.
5) En el análisis se desprecia la aceleración de la gravedad “g”.
Otras
simplificaciones que se hacen son las siguientes: la fuerza T por unidad de
longitud está aplicada en el centro de cada borde del área
incremental ΔA = ΔxΔy
Los
ángulos son muy pequeños, luego las componentes horizontales de las tensiones
son afectadas por cos α ≈ 1 y cos β ≈ 1 ;
y serán iguales y opuestas, luego sólo se considerará un desplazamiento
vertical:
T Δy sen β – T Δy sen α
Pero como los ángulos son pequeños, se puede asimilar el seno a la
tangente, o sea:
T Δy (sen β – sen α) ≈ T Δy (tg β – tg α)
Donde las tangentes pueden representarse por las derivadas de la
ordenada respecto de la abscisa:
T Δy (tg β – tg α) = T Δy (
[∂u/∂x]x+Δx, y1 – [∂u/∂x]x, y2 )
Del mismo modo se pueden considerar las componentes verticales de las
tensiones que actúan sobre los otros dos bordes del rectángulo incremental de
área considerado:
T Δx ( [∂u/∂y]x1, y+Δy – [∂u/∂y]x2, y )
Por Ley de Newton se debe cumplir:
∑ Fi = m a
Siendo las Fi las fuerzas actuantes en
sentido vertical, en este caso las tensiones componente vertical. Pero además
la masa es:
m = ρ ΔA
Dónde:
ΔA = Δx Δy
Siendo ρ la masa por unidad de área en [g/cm2]
y también:
a = ∂2u /∂t2
La aceleración en sentido vertical, propia del movimiento, obviando la
aceleración de la gravedad “g”.
Por lo tanto, quedará:
ρ Δx Δy [∂2u/∂t2] = T Δy ([∂u/∂x]x+Δx, y1 –
[∂u/∂x]x, y2) + T Δx ([∂u/∂y]x1, y+Δy – [∂u/∂y]x2,
y)
Lo que también se puede representar, cambiando la notación de las
derivadas parciales, del siguiente modo:
ρ Δx Δy [∂2u/∂t2] = T Δy ([ux]x+Δx,
y1 – [ux]x, y2) + T Δx ([uy]x1,
y+Δy – [uy]x2, y)
Si ahora se pasan los incrementos de x é y al segundo miembro y se toma
el límite de ese cociente incremental, para Δx → 0 y para Δy → 0; se
obtendrá la derivada parcial segunda, a saber:
[∂2u/∂t2] = T/ρ (∂2u/∂x2 +
∂2u/∂y2)
Siendo:
T/ρ = c2
Luego:
∂2u/∂t2 = c2 (∂2u/∂x2 +
∂2u/∂y2)
Que es la Ecuación Bidimensional de Onda.
Para resolverla se debe recurrir a las
condiciones de contorno, obviamente el desplazamiento es nulo en los bordes de
la membrana que se encuentran fijos, y esto da en parte las condiciones de
contorno, pero las restantes tienen que ver (como en el caso de la cuerda) con
el desplazamiento inicial y la velocidad inicial, considerados para t =
0
Condiciones de contorno:
u (0,y,t) = u (x,0,t) = u (a,y,t) = u (x,b,t) = 0
u (x,y,0) = f
(x,y) desplazamiento
inicial
[∂u/∂t]t=0 = g
(x,y) velocidad
inicial
Siendo “a” y “b” las dimensiones de la membrana rectangular según el eje
“x” y el eje “y”, respectivamente, como se puede apreciar en el siguiente
gráfico:
A continuación se debe aplicar el
método de separación de variables para el cálculo y resolución de la ED
bidimensional de onda.
u (x,y,t) = F (x) G (y) H (t)
Y finalmente se llega a la solución bidimensional de la onda, que se
puede expresar como:
umn (x,y,t) = (Bmn cos λmn t
+ Bmn* sen λmn t) sen mπx/a sen nπy/b
En este caso aparecerán vibraciones planares, y aquellas líneas donde el
desplazamiento sea nulo, se llamarán líneas nodales.
Si se utiliza la propiedad de la
linealidad de las soluciones de las ED lineales, como se hizo para la cuerda,
se pueden sumar todas las “m” y “n” soluciones anteriores, obteniendo una nueva
solución que cumplirá con las condiciones de contorno y dará lugar a dos series
dobles de Fourier, de manera que permitirá calcular los coeficientes por el
desarrollo de medio rango.
∞ ∞
u (x,y,t) = ∑ ∑ (Bmn cos λmn t
+ Bmn* sen λmn t) sen mπx/a sen nπy/b
m=1 n=1
Cálculo de los coeficientes:
Partiendo
de la solución antes vista, se verifica la condición de contorno referida al
desplazamiento inicial de la membrana, vale decir, se hará t = 0.
∞ ∞
u (x,y,t) = ∑ ∑ (Bmn cos λmn t
+ Bmn* sen λmn t) sen mπx/a sen
nπy/b (1)
m=1 n=1
si se hace t = 0
∞ ∞
u (x,y,0) = ∑ ∑ Bmn sen mπx/a sen nπy/b = f
(x,y) (2)
m=1 n=1
Donde conviene definir una función auxiliar, para sortear el
inconveniente de manejar la serie doble:
Se define:
∞
Km (y) = ∑ Bmn sen
nπy/b (3)
n=1
Donde, en esta última serie de Fourier se puede encontrar el coeficiente
por desarrollo de medio rango de una función definida en un intervalo
arbitrario, el cual –obviamente- es
0 ≤ y ≤ b
Luego:
b
Bmn = 2/b ⌠ Km (y) sen
nπy/b dy (4)
⌡
0
También se puede reemplazar (3) en (2), entonces:
∞
f (x,y) = ∑ Km (y)
sen
mπx/a
m=1
y en esta otra serie de Fourier, se puede encontrar el coeficiente Km (y)
también por desarrollo de medio rango, a saber:
a
Km (y)
= 2/a ⌠ f (x,y) sen
mπx/a dx (5)
⌡
0
y, si esta última fórmula, (5) se reemplaza en (4), resultará:
a b
Bmn = 4/ab⌠ ⌠ f
(x,y) sen mπx/a sen nπy/b dx
dy
⌡ ⌡
0 0
Para calcular el restante coeficiente, se debe aplicar la otra condición
de contorno, referida a la velocidad inicial, para ello debe derivarse respecto
del tiempo en la fórmula (1):
∞ ∞
[∂u/∂t]t=0 = ∑ ∑ ∂[(Bmn cos
λmn t + Bmn* sen λmn t) sen mπx/a
sen nπy/b]/∂t
= m=1 n=1
= g (x,y)
Entonces:
∞ ∞
[∂u/∂t]t=0 = ∑ ∑ [(- Bmnλmnsenλmn t
+ Bmn*λmncosλmn t) sen mπx/a sen nπy/b]t=0 m=1 n=1
O sea:
∞ ∞
g (x,y) = ∑ ∑ Bmn*λmn sen
mπx/a sen
nπy/b (6)
m=1 n=1
Donde también se puede definir una función auxiliar para sortear la
dificultad que presenta la serie doble de Fourier:
∞
Km*(y) = ∑ Bmn* λmn sen
nπy/b (7) n=1
De donde el coeficiente se puede calcular por desarrollo de medio rango,
de la siguiente forma:
b
Bmn* λmn = 2/b⌠ Km*(y)
sen nπy/b
dy (8)
⌡
0
Y reemplazando (7) en (6), resulta:
∞
g (x,y) = ∑ Km*(y) sen
mπx/a
m=1
De esta última fórmula, que es una serie de Fourier, surge por
desarrollo de medio rango el coeficiente:
a
Km*(y) = 2/a ⌠ g (x,y) sen
mπx/a dx
⌡
0
y, si esta última expresión se reemplaza en (8), resultará:
b a
Bmn* λmn = 4/ab⌠ ⌠g (x,
y) sen nπy/b sen mπx/a dx
dy
⌡ ⌡
0 0
o sea:
b a
Bmn* = 4/ λmn ab⌠ ⌠g
(x, y) sen nπy/b sen mπx/a dx
dy
⌡ ⌡
0 0
EL FENOMENO DE LA DIFRACCION.
Al
interponer en el camino de una onda plana una barrera con una abertura, las
vibraciones procedentes de los puntos que están a ambos lados de la abertura
no pueden avanzar y detrás de la barrera sólo se observa el envolvente de las
ondas que proceden de los focos secundarios que caben por la abertura. En
consecuencia, los frentes de onda dejan de ser planos y adquieren una forma
curvada o semicircular. Este fenómeno se llama difracción.
     Para construir las figuras adjuntas se ha usado el programa gratuito Ondas 2.2, del profesor Pedro Rodríguez Porca. Muestran el aspecto de una onda difractada por una rendija y la distribución de la intensidad recibida en una pantalla colocada a una cierta distancia detrás de ella. En el primer caso el tamaño de la rendija es igual al de la longitud de onda. La difracción es total y la intensidad recibida en la pantalla disminuye lentamente desde el máximo situado enfrente de la rendija. En el segundo caso, el tamaño de la rendija es el triple que la longitud de onda. La difracción se produce cerca de cada uno de los bordes y a medida que nos alejamos de la rendija se observan perfiles de frentes de onda casi planos del tamaño de su abertura. Las ondas difractadas en las proximidades de cada borde se amortiguan y por ello la intensidad decae bruscamente desde el máximo. Un ejemplo de difracción de ondas mecánicas que pone en evidencia la influencia del tamaño de las rendijas o de los bordes ocurre cuando se interpone al avance de las olas producidas en el mar una embarcación. Si es un barquito pequeño las olas lo bordean y detrás de él hay oleaje. Sin embargo si es un barco muy grande (mucho mayor que la longitud de onda las olas) sólo se aprecia la difracción en el borde, desde el cual se produce una rápida amortiguación de las olas. Detrás del barco se observa una zona sin oleaje. Bibliografia: ........Ondas Bidimensionales: http://c-lasondas.blogspot.mx/2011/05/ondas-bidimensionales.html ........Ecuacion General de las Ondas: http://www.mat.ucm.es/~acarpio/ondas.htm ........El Fenomeno de la Difraccion: |
AUTOR: Ramirez Zamorano Victor Miguel
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